पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं? What are The Integers Numbers In Hindi

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पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं ? What are The Integers Numbers In Hindi

नमस्कार छात्रों,
इस आर्टिकल में हम पूर्णांक संख्याओं (Integers Numbers) के बारे चर्चा करेंगे और जानेंगे की पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं ?
पूर्णांक संख्या की परिभाषा (Definition of Integers Numbers) , गुणधर्म (Property) , उदाहरण, परीक्षा की दृष्टि से
महत्वपूर्ण प्र्श्न और धनात्मक पूर्णांक (Positive Integers Numbers) और ऋणात्मक पूर्णाक (Nagative Integers Numbers) संख्या किसे कहते है ?
What are The Integers Numbers In Hindi इन सभी सवालों का जवाब भी खोजेंगे।
चलिए शुरू करते है –

जैसा की आप सब को पता है गणित में किसी भी समस्या अर्थात सवाल का व्युत्पत्ति/ हल प्राप्त करने के लिए सर्वप्रथम आपको संख्याओं का ज्ञान होना बहुत ही आवश्यक है।
संख्या पद्धति से ही बालक/ छात्र की प्राइमरी शिक्षा का आरम्भ है। इन्ही कक्षाओं में छात्र संख्या पद्धति के बारे में सीखता व जानता है।
इसलिए इनका विशेष ज्ञान होना आवश्यक है , जिस से आप विभिन प्रतियोगी परीक्षाओ में अच्छे अंक प्राप्त कर सके।

पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं ?

पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं? What are The Integers Numbers In Hindi
पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं (What are The Integers Numbers In Hindi)

पूर्णाक संख्या की परिभाषा (Definition of Integers Numbers)

सभी पूर्ण संख्याओं और ऋणात्मक संख्याओं के एक सम्मिलित समूह (संग्रह) को , पूर्णांक कहते है।
अर्थात पूर्ण संख्या के साथ यदि ऋणात्मक संख्याओं को सम्मिलित कर लिया जाये तो प्राप्त समूह को पूर्णांक संख्या कहते है।

Examples:- 4,5,0,-2,-1,55,-60 सभी पूर्णांक संख्याए है।

पूर्णांक संख्या के प्रकार (Type of Integers in Hindi)

पूर्णांक संख्या 3 प्रकार के होते है।
(1) धनात्मक पूर्णांक (Even Integers)
(2) शून्य
(3) ऋणात्मक पूर्णांक (Odd Integers)

(1) धनात्मक पूर्णांक (Positive Integers in hindi ) :-

धनात्मक पूर्णांक वह पूर्णाक होते है जो न तो ऋणात्मक होते है और न ही शून्य। इन्हे निरूपित करने के लिए किसी धन चिन्ह (+) का प्रयोग नहीं किया जाता है।
Examples :- 1,20,99,22,25 आदि धनात्मक पूर्णांक संख्या है।
NOTE:-जब दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो हमें एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है ।

सबसे छोटी पूर्णांक संख्या कोनसी है।

सबसे छोटी पूर्णांक संख्या 1 है।

(2) शून्य :-

शून्य संख्या को शून्य पूर्णाक भी कहा जाता है।

(3) ऋणात्मक पूर्णांक (Nagative Integers in hindi ) :-

ऋणात्मक संख्याओं को ऋणात्मक पूर्णाक कहा जाता है। इन्हे निरूपित करने के लिए इनके आगे ऋण चिन्ह (-) का प्रयोग किया जाता है।
Examples :- -1, -45 -17 आदि ऋणात्मक पूर्णांक संख्या है।

सबसे बड़ी ऋणात्मक पूर्णांक संख्या कौन सी है ?

सबसे बड़ी ऋणात्मक पूर्णांक संख्या -1 है।

संख्या रेखा पर पूर्णांकों का निरूपण :-

नीचे दी गई संख्या रेखा पर कुछ पूर्णांकों को अंकित किया गया है :-

पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं? What are The Integers Numbers In Hindi
पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं (What are The Integers Numbers In Hindi)

संख्या रेखा पर जब हम :-

(i) एक धनात्मक पूर्णांक को जोड़ते हैं, तो दाईं ओर चलते हैं ।
(ii) एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ते हैं, तो बाईं ओर चलते हैं ।
(iii) एक धनात्मक पूर्णांक को घटाते हैं, तो बाईं ओर चलते हैं ।
(iv) एक ऋणात्मक पूर्णांक को घटाते हैं, तो दाईं ओर चलते है ।

पूर्णांक संख्या के गुण-धर्म (Properties of Integers Number)

(A) पूर्णांकों के योग एवं व्यवकलन/घटाव के गुण :-

योग के अंतगर्त संवृत –

पूर्णांक संख्याए योग के अंतगर्त संवृत नियम का पालन करती है।
अर्थात इस नियम के अनुसार किन्ही दो पूर्णांकों को जोड़ने पर प्राप्त परिणाम एक पूर्णांक ही प्राप्त होता है।
जैसे की – 2 + 2 = 4 , 5 + 5 = 10 , यहाँ पर 4 एंव 10 एक पूर्णांक संख्या है।

व्यवकलन / घटाव के अंतर्गत संवृत –

पूर्णांक संख्याए घटाव के अंतगर्त संवृत नियम का पालन करती है। इसके अनुसार जब किन्ही दो पूर्णांकों को
आपस में घटाया जाता है तो प्राप्त परिणाम भी एक पूर्णांक संख्या प्राप्त होगी।
उदाहरण – 4 – 3 = 1 जो की एक पूर्णांक संख्या है।

क्रमविनिमेय गुण :-

पूर्णांक संख्याओ को जोड़ने पर यह क्रमविनिमेय नियम करती है।
अर्थात दो पूर्णांकों को किसी भी क्रम जोड़ने पर परिणाम समान रहता है।
उदाहरण – 2 + 3 = 5 , 3 + 2 = 5 प्राप्त परिणाम समान है।

साहचर्य गुण :-

पूर्णांकों को जोड़ने एंव घटाने में साहचर्य गुण का पालन करते है।
a + (b + c) = (a + b) + c

योज्य तत्समक :-

पूर्ण संख्याओं के लिए शून्य एक योज्य तत्समक (additive identity) है।
a + 0 = a = 0 + a

(B) पूर्णांकों का गुणन सम्बंधित गुण-धर्म :-

Euler सबसे पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने अपनी पुस्तक Ankitung zur Algebra (1770) में यह सिद्ध करने का प्रयास किया कि
(–1) × (–1) = 1 होता है।

Euler

गुणन के अंतर्गत संवृत :-

पूर्णांक गुणन के अंतगर्त संवृत होते है।
सभी पूर्णांकों a तथा b के लिए a × b एक पूर्णांक होता है ।

 गुणन की क्रमविनिमेयता :-

पूर्णांक संख्याए गुणन के प्रति क्रमविनिमेयता दर्शाती है।
व्यापक रूप में, किन्हीं दो पूर्णांकों a तथा b के लिए,
a × b = b × a

 शून्य से गुणन :-

पूर्णांक संख्या जब किसी को शून्य से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल के रूप में शून्य प्राप्त होता है।
a × 0 = 0 × a = 0

गुणनात्मक तत्समक :-

पूर्ण संख्याओं के लिए 1 गुणनात्मक तत्समक (multiplicative identity) है ।
a × 1 = 1 × a = a

गुणन साहचर्य गुण :-

यह गुणन साहचर्य गुण का पालन करती है।
(a × b) × c = a × (b × c)

यह भी पढ़े :-
(१) पूर्ण संख्या किसे कहते है ? (What is whole number in hindi)

महत्वपूर्ण तथ्य

  • (a) जब एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से भाग दिया जाता है या जब एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से भाग दिया जाता है, तो प्राप्त भागफल एक ऋणात्मक होता है।
  • (b) एक ऋणात्मक पूर्णांक को दूसरे ऋणात्मक पूर्णांक से भाग देने पर प्राप्त भागफल एक धनात्मक होता है ।
  • (c) किसी भी पूर्णांक a के लिए, हम पाते हैं कि
    • (i) a ÷ 0 परिभाषित नहीं है ।
    • (ii) a ÷ 1 = a है।

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